O problema do tempo

Todo mundo já ouviu falar da famosa corrida entre Aquiles e a tartaruga. Aquiles poderia andar 12 vezes mais rápido que a tartaruga, de modo que o Zenon, o filósofo grego, organizou uma corrida em que a tartaruga teria 20 quilômetros de vantagem.

Zenón argumentou que Aquiles nunca alcançaria a tartaruga porque, enquanto ele avançava 20 quilômetros, a tartaruga avançaria 1. Então, quando Aquiles viajou por aquela milha, a tartaruga teria avançado 1/12 de milha. Sempre haveria uma pequena distância entre eles, embora essa distância se tornasse cada vez menor.

Todos sabemos, é claro, que Aquiles chega à tartaruga, mas nessas circunstâncias nem sempre é fácil determinar exatamente o ponto em que passa.

Vamos propor um problema que revela a semelhança entre a famosa raça e os movimentos das mãos do relógio.

Quando exatamente o meio -dia, as duas mãos estão reunidas. E se pergunta quando, exatamente, as mãos voltarão para se juntar. (Para "exatamente", queremos dizer que o tempo deve ser expresso com precisão em segundas frações em segundo lugar). É um problema muito interessante, base de numerosos enigmas referentes ao relógio, todos fascinantes de natureza. Por esse motivo, todos os fãs são aconselhados a buscar uma compreensão clara dos princípios em jogo.

Solução

Se o Minuter deixar doze vezes mais rápido que o tempo da hora, ambas as agulhas serão onze vezes a cada 12 horas. Tomando como constante a décima primeira parte de 12 horas, descobrimos que as mãos serão encontradas a cada 65 minutos e 5/11, ou a cada 65 minutos, 27 segundos e 3/11. Portanto, as mãos se encontrarão novamente em 5 minutos, 27 segundos e 3/11 após 1.
A tabela a seguir mostra o tempo das onze reuniões das mãos por um período de 12 horas:

Horas	Minutos	Segundos
12	00	00
1	05	27 e 3/11
2	10	54 e 6/11
3	16	21 e 6/11
4	vinte e um	49 e 1/11
5	27	16 e 4/11
6	32	43 e 7/11
7	38	10 e 10/11
8	43	38 e 2/11
9	49	05 e 5/11
10	54	32 e 8/11